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Lunedì 28 Maggio 2018
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Durata Video : [00:35:07]
Modalità Accesso : [ABBONAMENTO]

 

Descrizione Contenuti Video :
Approfondimento del concetto di differenziale e uso del differenziale per l'approssimazione di una funzione nell'intorno di un punto mediante la funzione retta tangente (polinomio di primo grado). Esempio di approssimazione di una funzione nell'intorno di un punto e uso tipico di applicazione nel calcolo dei limiti. Esempio di calcolo numerico approssimato di una funzione nell'intorno di un punto.

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Differenziale}}\;{\rm{di}}\;{\rm{una}}\;{\rm{Funzione}}}\\
{\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) \approx f'({x_0})\,\Delta x}\\
{df = dy = d\,{{[f(x)]}_{{x_0}}} = f'({x_0})\Delta x = f'({x_0})\,dx}\\
{dy = d\,[f(x)] = f'(x)\,dx}\\
{{{\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|}_{{x_0}}} = f'({x_0})}\\
{\frac{{dy}}{{dx}} = f'(x)}
\end{array}} \right.\]

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Approssimazione}}\;{\rm{di}}\;{\rm{una}}\;{\rm{Funzione}}\;{\rm{in}}\;{\rm{un}}\;{\rm{Intorno}}}\\
{\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f'({x_0})\,\Delta x + r(x)}\\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{r(x)}}{{\Delta x}} = 0}\\
{\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) \approx f'({x_0})\,\Delta x}\\
{x = {x_0} + \Delta x}\\
{f(x)\mathop \approx \limits_{x \to {x_0}} f({x_0}) + f'({x_0})\,\Delta x}
\end{array}} \right.\]

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Esempi}}\;{\rm{Svolti}}}\\
\begin{array}{l}
f(x) = \ln (1 + x) \approx x\\
\left\{ \begin{array}{l}
f(0,34) = \ln (1 + 0,34) = \ln (1,34) = 0,2826...\\
f(0,34) = \ln (1 + 0,34) = \ln (1,34) \approx 0,34
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
f(0,01) = \ln (1 + 0,01) = \ln (1,01) = 0,00995...\\
f(0,01) = \ln (1 + 0,01) = \ln (1,01) \approx 0,01
\end{array} \right.\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1
\end{array}
\end{array}} \right.\]

 

Video Completo

 

 

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# Indice Argomento #
Analisi 1 >> Derivate e Calcolo Differenziale >> Differenziale di una Funzione >> Approssimazione di una Funzione in un Intorno

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