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Lunedì 28 Maggio 2018
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Durata Video : [01:05:47]
Modalità Accesso : [ABBONAMENTO]

 

Descrizione Contenuti Video :
Enunciato e spiegazioni del teorema di De Hopital. Approfondimento sulle ipotesi e condizioni di applicabilità del teorema con esempi e contro-esempi. Svolgimento di alcuni esempi di applicazione su limiti vari con verifica delle condizioni di applicabilità del teorema e calcolo del limite.

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Teorema}}\;{\rm{di}}\;{\rm{De}}\;{\rm{Hopital}}\;({\rm{Teorema}}\;{\rm{1^\circ }}\;{\rm{e}}\;{\rm{2^\circ }})}\\
{hp:}\\
{\;\;\;\;\;\;{D_f} \subseteq R\;\;\;\;\;f:{D_f} \to R,\;\;x \to y = f(x)}\\
{\;\;\;\;\;\;{D_g} \subseteq R\;\;\;\;\;g:{D_g} \to R,\;\;x \to y = g(x)}\\
{\;\;\;\;\;\;D = {D_f} \cap {D_g}\;\;\;{x_0} \in \;\mathop {{\rm{ }}R}\limits^{\_\_} = R \cup \{ - \infty , + \infty \} }\\
{\;\;\;\;\;\;1)\;f,g\;\;{\rm{infinitesime}}\;{\rm{o}}\;{\rm{infinite}}\;{\rm{per}}\;x \to {x_0}}\\
{\;\;\;\;\;\;2)\;f,g\;\;{\rm{derivabili}}\;{\rm{per}}\;\forall x \in (I({x_0}) - \{ {x_0}\} ) \cap D}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;con\;g'(x) \ne 0\;\;\forall x \in (I({x_0}) - \{ {x_0}\} ) \cap D}\\
{\;\;\;\;\;\;3)\;\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = l = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ \pm \infty }\\
{ \in R}
\end{array}} \right.}\\
{}\\
{th:}\\
{\;\;\;\;\;\;\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\;\mathop = \limits^{[\frac{0}{0}][\frac{\infty }{\infty }]} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}}
\end{array}} \right.\]

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Esempi}}\;{\rm{Svolti}}}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^x} - 1}}{{{x^2}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\ln (4x - 3)}}{{{x^2} + 7x - 8}}\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}}}{{{x^3} + {x^2}}}}\\
\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{sen(x)}}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos (x)}}{{{x^2}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln (x)}}{{{x^3}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}} - 2x}}{{x - sen(x)}}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + sen(x)}}{{x + \cos (x)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}
\end{array}
\end{array}}
\end{array}} \right.\]

 

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# Indice Argomento #
Analisi 1 >> Derivate e Calcolo Differenziale >> Teoremi Fondamentali >> Teorema di De Hopital >> Enunciato Spiegazione Esempi

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