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Lunedì 28 Maggio 2018
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Durata Video : [01:02:36]
Modalità Accesso : [ABBONAMENTO]

 

Descrizione Contenuti Video :
Applicazione della regola di De Hopital con altre forme indeterminate diverse da quelle proprie del teorema. Riepilogo di tutte le forme indeterminate nel calcolo dei limiti e approfondimento sulle loro trasformazioni per ricondurle a quelle proprie del teorema di De Hopital. Esempi di calcolo di limiti su ciascuna forma indeterminata con relativa trasformazione nella forma compatibile con l'applicazione della regola di De Hopital.

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Teorema}}\;{\rm{di}}\;{\rm{De}}\;{\rm{Hopital}}\;({\rm{Teorema}}\;{\rm{1^\circ }}\;{\rm{e}}\;{\rm{2^\circ }})}\\
{hp:}\\
{\;\;\;\;\;\;{D_f} \subseteq R\;\;\;\;\;f:{D_f} \to R,\;\;x \to y = f(x)}\\
{\;\;\;\;\;\;{D_g} \subseteq R\;\;\;\;\;g:{D_g} \to R,\;\;x \to y = g(x)}\\
{\;\;\;\;\;\;D = {D_f} \cap {D_g}\;\;\;{x_0} \in \;\mathop {{\rm{ }}R}\limits^{\_\_} = R \cup \{ - \infty , + \infty \} }\\
{\;\;\;\;\;\;1)\;f,g\;\;{\rm{infinitesime}}\;{\rm{o}}\;{\rm{infinite}}\;{\rm{per}}\;x \to {x_0}}\\
{\;\;\;\;\;\;2)\;f,g\;\;{\rm{derivabili}}\;{\rm{per}}\;\forall x \in (I({x_0}) - \{ {x_0}\} ) \cap D}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;con\;g'(x) \ne 0\;\;\forall x \in (I({x_0}) - \{ {x_0}\} ) \cap D}\\
{\;\;\;\;\;\;3)\;\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = l = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ \pm \infty }\\
{ \in R}
\end{array}} \right.}\\
{}\\
{th:}\\
{\;\;\;\;\;\;\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\;\mathop = \limits^{[\frac{0}{0}][\frac{\infty }{\infty }]} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}}
\end{array}} \right.\]

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Forme}}\;{\rm{Indeterminate}}}\\
\begin{array}{l}
f(x) \pm g(x)\;\;\; \to \;\;\;[ \pm \infty \mp \infty ]\\
f(x) \cdot g(x)\;\;\; \to \;\;\;[0 \cdot \infty ]\\
\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\;\;\; \to \;\;\;[\frac{0}{0}]\;\;\;\;\;[\frac{\infty }{\infty }]\\
f{(x)^{g(x)}}\;\;\; \to \;\;\;[{0^0}]\;\;\;\;\;[{\infty ^0}]\;\;\;\;\;[{1^\infty }]
\end{array}
\end{array}} \right.\]

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Esempi}}\;{\rm{Svolti}}}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \;[\frac{1}{x} - \frac{1}{{sen(x)}}] = [ + \infty - \infty ]\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \;[{x^2} - \ln (x)] = [ + \infty - \infty ]}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x\ln (x) = [0\cdot\infty ]\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}{e^x} = [\infty \cdot0]}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^{ - 2}}}}{{{e^{ - x}}}} = [\frac{0}{0}]}\\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^{sen(x)}} = [{0^0}]\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{(\frac{1}{x})}^{\sqrt x }} = [{\infty ^0}]\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{(x + 1)}^{\frac{1}{x}}} = [{1^\infty }]}
\end{array}}
\end{array}}
\end{array}}
\end{array}} \right.\]

 

Video Completo

 

 

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# Indice Argomento #
Analisi 1 >> Derivate e Calcolo Differenziale >> Teoremi Fondamentali >> Teorema di De Hopital >> Uso con altre Forme Indeterminate

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