Teorema Criterio di Sufficiente Derivabilità - Esempi Avanzati - Teoria
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Esempi avanzati di applicazione del teorema criterio di sufficiente derivabilità nello studio della derivabilità di funzioni in corrispondenza di punti sospetti di derivabilità. Approfondimento sulle ipotesi e condizioni di applicabilità del teorema in alternativa al calcolo del limite del rapporto incrementale. Controesempio di non applicabilità del teorema e necessità di uso del limite del rapporto incrementale.
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- Categoria: Esempi Avanzati
Durata Video : [00:54:54]
Modalità Accesso : [ABBONAMENTO]
Descrizione Contenuti Video :
Esempi avanzati di applicazione del teorema criterio di sufficiente derivabilità nello studio della derivabilità di funzioni in corrispondenza di punti sospetti di derivabilità. Approfondimento sulle ipotesi e condizioni di applicabilità del teorema in alternativa al calcolo del limite del rapporto incrementale. Controesempio di non applicabilità del teorema e necessità di uso del limite del rapporto incrementale.
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Teorema}}\;{\rm{Criterio}}\;{\rm{di}}\;{\rm{Sufficiente}}\;{\rm{Derivabilita'}}}\\
{hp:}\\
{\;\;\;\;\;\;{D_f} \subseteq R\;\;\;\;\;f:{D_f} \to R,\;\;x \to y = f(x)}\\
{\;\;\;\;\;\;{x_0} \in \;{D_f}}\\
{\;\;\;\;\;\;1)\;f\;continua\;in\;{x_0}\;({\rm{anche}}\;{\rm{solo}}\;{\rm{a}}\;{\rm{destra}}\;{\rm{o}}\;{\rm{solo}}\;{\rm{a}}\;{\rm{sinistra}})}\\
{\;\;\;\;\;\;2)\;f\;derivabile\;per\;\forall x \in (I({x_0}) - \{ {x_0}\} ) \cap {D_f}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\exists \;I({x_0})\;({\rm{anche}}\;{\rm{intorno}}\;{\rm{solo}}\;{\rm{destro}}\;{\rm{o}}\;{\rm{solo}}\;{\rm{sinistro}})}\\
{\;\;\;\;\;\;3)\;\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f'(x) = l = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ \pm \infty }\\
{ \in R}
\end{array}} \right.\;\;({\rm{anche}}\;{\rm{solo}}\;{\rm{destro}}\;{\rm{o}}\;{\rm{solo}}\;{\rm{sinistro}})}\\
{th:}\\
{\;\;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{f'}_ - }({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ - }} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}\; = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f'(x)}\\
{{{f'}_ + }({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}\; = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f'(x)}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\]
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Esempi}}\;{\rm{Svolti}}}\\
{\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{e^x} - 1\;\;\;\;\;\;\;x \le 0\\
x\ln (x)\;\;\;\;\;\;x > 0
\end{array} \right.}\\
{f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}sen(\frac{1}{x})\;\;\;\;\;x \ne 0\\
0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 0
\end{array} \right.}
\end{array}}
\end{array}} \right.\]